必要になる書類やその名称、その他手続きのルールは銀行によってさまざまですが
一般的に要求される書類としては
▢戸籍謄本もしくは法定相続情報一覧図
▢印鑑証明書
▢遺産分割協議書
などがあります
（遺言があり遺言執行者がいる場合では大きく異なってきます）

流れ
まず銀行に連絡する
↓
銀行から必要書類などについて説明を受ける
↓
必要書類を用意し銀行に提出する
↓
故人の預貯金が指定した相続人の口座に振り込まれる
という流れになります（だいたい提出してから1～2週間後）

引き落とし口座として使用していた場合の注意点
銀行は口座名義人が死亡した事実を知ると口座を凍結しますので、光熱費など各種公共料金やその他引き落としが予定されている場合は前もって各所へ解約や名義変更などの手続きをしたほうがよいでしょう。

口座凍結と相続放棄との関係
銀行に黙って遺族が引き出してしまえばよいのでは？と思われるかもしれませんが、預貯金を引き出したことで相続する意思があるとみなされてしまい、相続の放棄を認めてもらえなくなることがあります。このようなリスクがありますので故人に借金などマイナスの財産がありそうな場合は特に注意が必要です。
この預貯金を引き出した行為を「相続の単純承認」と言います。「単純承認」とは「相続放棄」の対義語のようなものとイメージしていただくとよいでしょう。